ガチャコンプの確率を数学的に計算してみよう

私はあまり詳しくないのですが、まずは簡単に要約。

グリーとかモバゲーの携帯ゲームの要素としてガチャガチャみたいなのがあって、ゲーム中でガチャガチャをやって、カードやアバターを入手したりするらしい。そして、それがしっかりと300円とか課金される仕組みになっている。

で、「コンプリートしたい！」という利用者の気持ちをくすぐって、いい感じに儲けているらしい。この手のガチャを「コンプガチャ」、この手のガチャでコンプリートすることを「ガチャコンプ」と、呼ぶみたい、たぶん。

で、とある人(karzuspさん)が、この課金地獄に落ちていく様子のツイートを、別のとある人(tail_yさん)が、togetterでまとめていて↓

モバイルSNSゲームが儲かる本当の理由。かーずSPはなぜ１５万もつぎ込んだのか？ - Togetter

そのポイント

「最初の３枚と後の３枚は確率が全然違うんだよ」

が、「なーるほどね！」って思ったので、そこをさらに掘り下げるというのが今回の趣旨。

例えば、6枚コンプリートしたいという時に、最初の3枚が意外とすんなりと集まって、「よし、この調子で残り3枚も！」なんてうまくはいかないぞ、ってことですね。

tail_yさんのまとめで、コンプリートに近づくにつれ、あたりを引く確率が下がっていく感じはつかめると思うのですが、そこをもうちょっと、具体的な数値で考えてみます。

たまたま、↓この本を読んだところなのだ。

Head First Statistics ―頭とからだで覚える統計の基本

単純な問題を想定してみると、

  ・全カード種類   10種
  ・集めたいカード  6種
  ・カードの出る確率は同じ(各1/10)

実際よりかなり甘いみたいけど、これでまずは考えてみよう。

6枚コンプリートを、
  1枚目ゲット → 2枚目ゲット → ・・・ → 6枚目ゲット
と分けて考えて、それぞれに必要な金額を足せばよさそう。

【ステージ1： 1枚目ゲット】

お目当てのカードは6種のどれでもいいので、それらが出る確率は、

  p = 6/10 ・・・ 当たりが出る確率

1回目で出れば、ステージ1は終了。

出なければ、もう1回 確率 6/10 を引くことになり、そこで当たれば終了、外れれば、またもう1回・・・

そう、これは「幾何分布」ってやつになります。

失敗すれば何度でも・・・

可能性は無限にあることになりますが、期待値(ゲットまでの平均回数)はちゃんと収束して、

E(X) = 1/p ・・・ 当たりが出るまでの回数の期待値

当たりの確率をpとすると、1/pとなります。1枚目ゲットの当たりの出る確率は6/10なので、

  E(X) = 10/6 = 1.67回 ・・・ 1枚目ゲットまでの期待値

【ステージ2： 2枚目ゲット】

欲しいカードが1枚減ったので、当たりが出る確率が少し下がります。

  p = 5/10 ・・・ 当たりが出る確率

  E(X) = 10/5 = 2.00回 ・・・ 2枚目ゲットまでの期待値

【ステージ3： 3枚目ゲット】

  p = 4/10 ・・・ 当たりが出る確率

  E(X) = 10/4 = 2.50回 ・・・ 3枚目ゲットまでの期待値

あとは、同様に

  4枚目  E(X) =   3.33回
  5枚目  E(X) =   5.00回
  6枚目  E(X) = 10.00回

1回300円として、累積も計算してみると↓こんな感じ。

最初の3枚までは1850円、全6枚だと7350円かかる見込み。

後半の3枚は、前半の3枚に比べると、3倍の金額がかかりますね。

実際のケースだと、カードの出る確率とかって公開されているんですかね？されていれば、トータルでいくらかかりそうかとか、その期待値がどれくらいバラつくか、とかも求められるはずなんですけどね。

上記のように無作為になっている場合でも、後半の追い込みで、かなりお金がかかる計算になります。

そして、まさかとは思うのですが、最初の数枚だけ恣意的に確率を上げて、最後の方で下げるとか・・・、さすがにそんなことまではやっていないですよね？

Head First Statistics ―頭とからだで覚える統計の基本