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2013年4月 1日 (月)

「素数ものさし」で測れる長さ(「0と18は禁止」篇)

目盛が素数のところにしかないという、京大の生協で売っている変なものさしで、任意の長さ(整数cm)が測れるかどうかという疑問で書いたのが下記のエントリでした↓

京都大学の「素数物差し」の使い方: 主張

で、物差しの端の0と18の位置(注:目盛ではない)を使って良しとすれば、1~18cmのすべての長さが測れることが分かったのですが、「素数でない0と18を使うのはズルい!」という潔癖症のあなたのために、「素数の差」のみでどれだけ測れるのか、というのを調べてみました↓

素数ものさしで測れる長さ

で、7,13,16,17,18以外なら測れるという結論になりました。

測れない長さがあることで、よりマゾヒスティックな定規となりました。

で、これってあくまで17以下の素数ではという話であって(物差しの長さが18しかないですからね)、この物差しの長さが無限だとしたら、測れない長さはあるの? というのは、すぐには分からなそうな問題ですね。

つまり、

  任意の自然数は、素数の差で表すことができるのか?

みたいな問題になるんでしょうか。

結論が出ているのかどうか知りません。知っている人がいたら教えてください。(丸投げ)

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コメント

はじめまして。今日知人にプレゼントされて、興奮しています( ´ ▽ ` )ノ。

7センチは、例えば3mmと73mmで、
13センチは、例えば7mmと137mmで、
16センチは、例えば3mmと163mmで、
17センチも3mmと173mmで

測れますよ(・ω・)ノ。

投稿: あべっきー | 2013年9月15日 (日) 02時11分

コメントありがとうございます。

下側の細かい目盛が、ミリ単位の素数になっていたんですね。知らなんだ・・・

ということは、センチ単位でいうと18未満はすべて測れるということですねえ。

なんだ、実用的じゃないですか。

投稿: 管理人 | 2013年9月15日 (日) 23時15分

7cmは、cmの目盛を使うと絶対に測れません。
もし、7cmがはかれたとすると、それは2つの素数の差が7であることを意味します。
差が奇数なので、この2つの素数の偶奇は異なります。よって、素数の一つは偶数になります。
偶数の素数は2しかないのですが、このとき2+7=9なので9cmの所に目盛が必要になります。
しかし、9=3×3なので目盛は存在せず、よって7cmはcmの目盛を使うと絶対に測れません。

mmの目盛を使うとどうなるかについては、「ゴールドバッハ予想」という未解決問題に非常に類似します。(mmにすると長さは10の倍数になります)

投稿: | 2015年5月 3日 (日) 19時11分

コメントありがとうございます。

なるほど、7が素数の差として表せないことは証明できるんですね。

同じロジックで、13が計れないことも示せますね。(15が素数でないので)

17は、素数ものさしがもう少し長ければ、19 - 2 = 17 で計れますね。

「任意の自然数は、素数の差で表すことができるのか?」については、あっさりと7や13の反例が見付かってしまったので、ゴールドバッハ予想の「差」版という展開にはならなかったですね。

少し狭めて、「任意の偶数は、素数の差で表すことができるのか?」とか、「任意の10の倍数は、素数の差で表すことができるのか?」なんてのは、まだ可能性がありますかね。
後者が、mmの素数目盛りを使って任意のcmの単位を計る(あべっきーさんがあげてくれた例)に対応する感じでしょうか。

投稿: 管理人 | 2015年5月 9日 (土) 06時14分

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