「素数ものさし」で測れる長さ（「0と18は禁止」篇）
目盛が素数のところにしかないという、京大の生協で売っている変なものさしで、任意の長さ（整数cm）が測れるかどうかという疑問で書いたのが下記のエントリでした↓
京都大学の「素数物差し」の使い方: 主張
で、物差しの端の0と18の位置（注：目盛ではない）を使って良しとすれば、1～18cmのすべての長さが測れることが分かったのですが、「素数でない0と18を使うのはズルい！」という潔癖症のあなたのために、「素数の差」のみでどれだけ測れるのか、というのを調べてみました↓
で、7,13,16,17,18以外なら測れるという結論になりました。
測れない長さがあることで、よりマゾヒスティックな定規となりました。
で、これってあくまで17以下の素数ではという話であって（物差しの長さが18しかないですからね）、この物差しの長さが無限だとしたら、測れない長さはあるの？ というのは、すぐには分からなそうな問題ですね。
つまり、
任意の自然数は、素数の差で表すことができるのか？
みたいな問題になるんでしょうか。
結論が出ているのかどうか知りません。知っている人がいたら教えてください。（丸投げ）
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コメント
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はじめまして。今日知人にプレゼントされて、興奮しています( ´ ▽ ` )ﾉ。
7センチは、例えば3mmと73mmで、
13センチは、例えば7mmと137mmで、
16センチは、例えば3mmと163mmで、
17センチも3mmと173mmで
測れますよ(・ω・)ノ。
投稿: あべっきー | 2013年9月15日 (日) 02時11分
コメントありがとうございます。
下側の細かい目盛が、ミリ単位の素数になっていたんですね。知らなんだ・・・
ということは、センチ単位でいうと18未満はすべて測れるということですねえ。
なんだ、実用的じゃないですか。
投稿: 管理人 | 2013年9月15日 (日) 23時15分
7cmは、cmの目盛を使うと絶対に測れません。
もし、7cmがはかれたとすると、それは2つの素数の差が7であることを意味します。
差が奇数なので、この2つの素数の偶奇は異なります。よって、素数の一つは偶数になります。
偶数の素数は2しかないのですが、このとき2＋7＝9なので9cmの所に目盛が必要になります。
しかし、9=3×3なので目盛は存在せず、よって7cmはcmの目盛を使うと絶対に測れません。
mmの目盛を使うとどうなるかについては、「ゴールドバッハ予想」という未解決問題に非常に類似します。(mmにすると長さは10の倍数になります)
投稿: | 2015年5月 3日 (日) 19時11分
コメントありがとうございます。
なるほど、7が素数の差として表せないことは証明できるんですね。
同じロジックで、13が計れないことも示せますね。（15が素数でないので）
17は、素数ものさしがもう少し長ければ、19 - 2 = 17 で計れますね。
「任意の自然数は、素数の差で表すことができるのか？」については、あっさりと7や13の反例が見付かってしまったので、ゴールドバッハ予想の「差」版という展開にはならなかったですね。
少し狭めて、「任意の偶数は、素数の差で表すことができるのか？」とか、「任意の10の倍数は、素数の差で表すことができるのか？」なんてのは、まだ可能性がありますかね。
後者が、mmの素数目盛りを使って任意のcmの単位を計る（あべっきーさんがあげてくれた例）に対応する感じでしょうか。
投稿: 管理人 | 2015年5月 9日 (土) 06時14分