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2016年11月17日 (木)

「エレガントな問題解決」演習問題 2.1.25の解答(分母が3つの項の積になっている数列の和)

オライリーの「エレガントな問題解決」より

P28 演習問題 2.1.25

例1.1.2では、

1

のように予想した。ここでは、分母が3つの項の積になっているような和について、実験し、一般形を予想せよ。また、さらに類似の問題を作って解きなさい。

例1.1.2では実際にn=4まで和を計算し、そこから一般形を予想していました。

でも、実際は多くの人にとっては、↓こちらのやり方の方が馴染みがあるんじゃないでしょうか。(大抵の人が使った教科書に載っていたんじゃないかと思います)

2

部分分数に分解すると、途中の項がばっさりと相殺されるという、なんともうまい式変形です。

こんな感じでできるんじゃないかという「希望的観測」を私は持ちました。

出題者を指示には合わないですが、このやり方もそれなりにエレガントだと思いますし、あとから分かりますが、「実験し、一般形を予想」するのはかなり難しいんじゃないかという気もしますし。

ということで、

3

4

のような形に分解すると、aかbかcのうち負のものがあって、いい感じに相殺するような形になることを期待します。

a、b、cは機械的に求めるには、上記の式を淡々と計算して・・・

5

分子は1にならなきゃいけないので、

6

という方程式ができあがります。

つまり、

7

が恒等的に(任意のnについて)なりたつ必要があるので、

8

の連立方程式を解いて、

9

が得られます。

つまり、設問の「分母が3つの項の積になっているような和」は以下のように変形でき、

分母が3つの項の積になっている数列の和

真ん中のところはいい感じに相殺され、残った項を計算すると、
11

が得られました。

さて、この式、「実験し、一般形を予想」できそうでしょうか? 私はちょっと自信がないです。

↓こちらのかたは、

『エレガントな問題解決』3 - 踏み台世界

「約分を中途半端に止めることで規則性」を見つけ、分子・分母とも、差分が等差数列になることを見出してますが、正直、自分はこれには気付けそうにないです・・・

エレガントな問題解決 ―柔軟な発想を引き出すセンスと技
エレガントな問題解決 ―柔軟な発想を引き出すセンスと技

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