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2017年2月 1日 (水)

「エレガントな問題解決」演習問題 2.1.27(d)の解答(辺の長さ1の四角錐と正四面体の貼り合わせ)

エレガントな問題解決」からの演習問題。

どの辺の長さも1であるような多面体(多角形の面を持つ立体)が2つある。1つは四角形を底面とするピラミッドであり、もう1つは四面体(四面体とは、4つの三角形を面とする立体)である。三角形の面で、2つの立体を貼り合わせたとする(貼り合わせた面は、ぴったり重なるとする)。この新しい立体には、いくつの面があるだろうか。

つまり、辺の長さが1である四角錐と正四面体(三角錐)があって、双方とも長さ1の正三角形の面を持っていますから、それらを貼り合わせてできた立体には、いくつの面がある? という問題です。

四角錐には、5つの面があります。そして、三角錐には、4つの面があります。

それを貼り合わせると、それぞれから1面ずつ「消費」されるわけで、できあがった図形の面数は、

(5 - 1) + (4 - 1) = 7

つまり、7つの面がある。

・・・とやると、見事にひっかかったことになります。

上記みたいに、素直な計算通りにならないケースにどんなものがありそうかと考えてみます。(設問に「ひっかけ問題」だぞ、て書いてあるので)

やっぱり絵は、いるよなあ。

↓こんな立体でしょ。

三角錐と四角錐(正四面体)

↓グレーのところを貼り合わせる

三角錐と四角錐(正四面体) グレーの箇所を貼り合わせる

これが七面体にならないとしたら・・・

・・・隣り合う2面がなす角度が180度となって、結果的に1面となってしまうところがある、とか?

つまり、↓この、赤線のなす角度と、青線のなす角度を足すと、180度になるのではない
か、という仮説が立てられます。

三角錐と四角錐(正四面体) 隣り合う面のなす角度を調べる

余弦定理を使って求めてみます。

まず、四角錐のほう、

余弦定理を使って四角錐の隣り合う面の角度をもとめる

次に、三角錐のほう、

余弦定理を使って三角錐の隣り合う面の角度をもとめる

θは鈍角(π/2<θ<π)、φは鋭角(0<φ<π/2)ですね。

両者の絶対値が同じで、符号が逆ということは、θ + φ = 180°となることが分かります。(下図)

余弦の和がゼロになる場合、角度の和は180度

同様の関係にある面のペアがもう1組ありますので、

7面 - 2面 = 5面

できあがる図形は5面体である、というのが答えです。

エレガントな問題解決 ―柔軟な発想を引き出すセンスと技
エレガントな問題解決 ―柔軟な発想を引き出すセンスと技

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