「エレガントな問題解決」演習問題 2.1.27(d)の解答（辺の長さ1の四角錐と正四面体の貼り合わせ）

「エレガントな問題解決」からの演習問題。

どの辺の長さも1であるような多面体（多角形の面を持つ立体）が2つある。1つは四角形を底面とするピラミッドであり、もう1つは四面体（四面体とは、4つの三角形を面とする立体）である。三角形の面で、2つの立体を貼り合わせたとする（貼り合わせた面は、ぴったり重なるとする）。この新しい立体には、いくつの面があるだろうか。

つまり、辺の長さが1である四角錐と正四面体（三角錐）があって、双方とも長さ1の正三角形の面を持っていますから、それらを貼り合わせてできた立体には、いくつの面がある？ という問題です。

四角錐には、5つの面があります。そして、三角錐には、4つの面があります。

それを貼り合わせると、それぞれから1面ずつ「消費」されるわけで、できあがった図形の面数は、

(5 - 1) + (4 - 1) = 7

つまり、7つの面がある。

・・・とやると、見事にひっかかったことになります。

上記みたいに、素直な計算通りにならないケースにどんなものがありそうかと考えてみます。（設問に「ひっかけ問題」だぞ、て書いてあるので）

やっぱり絵は、いるよなあ。

↓こんな立体でしょ。

↓グレーのところを貼り合わせる

これが七面体にならないとしたら・・・

・・・隣り合う2面がなす角度が180度となって、結果的に1面となってしまうところがある、とか？

つまり、↓この、赤線のなす角度と、青線のなす角度を足すと、180度になるのではない
か、という仮説が立てられます。

余弦定理を使って求めてみます。

まず、四角錐のほう、

次に、三角錐のほう、

θは鈍角（π/2＜θ＜π）、φは鋭角（0＜φ＜π/2）ですね。

両者の絶対値が同じで、符号が逆ということは、θ ＋ φ ＝ 180°となることが分かります。（下図）

同様の関係にある面のペアがもう１組ありますので、

7面 － 2面 ＝ 5面

できあがる図形は5面体である、というのが答えです。

エレガントな問題解決 ―柔軟な発想を引き出すセンスと技